Dentro do ramo da geometria, o objeto expõe a sua simetria quando parece a mesma coisa depois de passar por uma transformação. Seja por rotação ou reflexão, nada aparentemente se altera nele.
Compreende-se por simetria, o princípio de ordem matemática que está por trás dos padrões. É de suma importância:
- Na arte, sendo usada na cerâmica, arquitetura, tapetes e colchas;
- Na matemática, sendo usada na teoria dos grupos, na geometria e álgebra linear;
- Na biologia, sendo usada nas formas dos organismos;
- Na química, sendo usada na estrutura cristalina e nas formas das moléculas;
- Na física, sendo que é correspondente a quantidade conservada.
O termo simetria deriva-se do latim vindo lá do século XVI, partindo da junção do grego “syn” (juntos) e “metron” (medida).
Os tipos existentes de simetria
Tipo reflexivo
Em usos gerais, as simetrias normalmente se referem à ao âmbito do espelho ou reflexivo. Ou seja, a linha apresentada no 2D, ou ela plana, apresentada no 3D, pode ter seu desenho feito por meio de objetos, de maneira que ambas as metades se mostrem como especulares uma da outra.
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Por exemplo, podemos citar o rosto de um humano e os triângulos isósceles, como representações do que foi citado acima. Matematicamente, objetos que exibem as simetrias do espelho são considerados “invariantes sob a reflexão”. Isso quer dizer que a reflexão dos objetos, de certa forma, não altera suas aparências.
A borboleta é um bom explicativo sobre a simetria reflexiva. Objeto em 2D possui uma linha de simetria. Já o em 3D tem o que se chama de plano simétrico. Ele é invariante em face da reflexão.
Na biologia, esse tipo de simetria por vezes é citada como a simetria bilateral, sendo encontrada em:
- Répteis;
- Peixes;
- Mamíferos;
- Pássaros.
Simetria rotacional
Outra comumente forma da simetria que é encontrada no ramo da biologia é o que chamamos de simetria rotacional. É encontrada em diversos seres marinhos e em flores.
Matematicamente, tais objetos são apresentados como exibindo rotação simétrica, para serem “invariantes sob rotação”. Eles têm o ponto (em 2D) ou o eixo (em 3D) no qual pode ser rodado, permanecendo invariantes.
Um símbolo yin-yang e um cata-vento são exemplos de objetos que exibem simetria rotacional. Os que são em 2D têm um centro de simetria; já os que são em 3D têm um eixo de simetria. Eles são invariantes sob rotação.
Simetria translacional
O objeto que se estende pelo infinito em todas as direções, em uma padronização 2D ou 3D pode mostrar simetria translacional. Este é um “invariante sob translação”.
As pavimentações e grande parte dos padrões que vemos nos tapetes e papéis de parede exibe simetria translacional.
Outras formas de simetria
Existem exemplos de objetos que exibem mais de um tipo de simetria. Vejamos, uma estrela de seis pontas mostra seis linhas de reflexão e um ponto de rotação de seis vezes. No entanto, há alguns objetos e padrões que são invariantes apenas sob duas transformações feitas ao mesmo tempo.
Rotação imprópria = reflexão + rotação
Um antiprisma pentagonal com bordas direcionais é invariante sob rotação inadequada.
Reflexo de glide = Translação + Reflexão
Um padrão de pegada, por exemplo, se estendido ao infinito em qualquer direção, é invariante sob a reflexão do deslizamento (uma tradução combinada com uma reflexão).
Rotação do parafuso = Translação + Rotação
Uma hélice feita de tetraedros, se estendida para infinito em qualquer direção, é invariante sob rotação de parafuso.
A noção mais abstrata da simetria
As noções discutidas até agora sobre as formas simétricas, eram de objetos no espaço, algo que podemos imaginar, algo que podemos ver. Mas há também uma noção mais abstrata de simetria, que também é muito fundamental na matemática moderna.
Esta é a ideia de simetria de um espaço em si. Não apenas um objeto no espaço, mas o próprio espaço. Então, esta é a propriedade dos vários espaços que podemos estudar em matemática.
O físico Nergis Mavalvala, fala sobre a teoria geral da relatividade, o sistema Hulse-Taylor e o modo como a onda gravitacional pode ser medida usando um espelho, um laser e um relógio.
É um pouco vago demais, portanto, vamos dar um exemplo. Considere o espaço tridimensional em que estamos. A primeira simetria importante é o que chamamos de homogeneidade.
A homogeneidade
Homogeneidade significa, como o princípio da democracia, que todos os pontos são iguais. Então, se você está em um espaço vazio, cada ponto é, obviamente, o mesmo. É sobre matemática, mas também é importante na cosmologia.
Se você considerar o universo em escala cosmológica, até as galáxias seriam como um grão de poeira – infinitamente pequeno. Nesta escala, todo o universo é homogêneo. Claro, existem alguns pequenos desvios, como a Terra. Mas geralmente você pode modelar o universo dessa forma. Esta é a primeira propriedade.
Isotropia
Então, esta é a segunda propriedade, que é onde todas as direções no espaço são tidas como iguais. Qualquer direção que você olhe para o céu ainda seria igual, se você estiver em escalas cosmológicas ou no universo matemático vazio.
Se você tentar caracterizar matematicamente essas propriedades, elas significam que o universo é invariável em translações a alguma distância, em alguma direção. Portanto, a homogeneidade nada mais é do que o universo invariante na translação.
Em termos técnicos, isso é chamado isotropia. Isotropia em grego significa que todas as direções são essencialmente as mesmas. É novamente o princípio da democracia – todas as direções são iguais.
Essas duas propriedades de simetria, que estão relacionadas a transformações, também pode ser chamadas de traduções. Isso porque podemos traduzir todo o universo por uma distância finita em uma dada direção.
A invariância do universo e sua tradução é homogeneidade, enquanto isotropia é invariância de espaço e rotações. O que é fundamental em simetria é o que é invariante.
E o que é invariável? O que é preservado por rotações e traduções? Estes são precisamente o comprimento e os ângulos. Cada um deles sabe sobre a relatividade, no sentido do que as distâncias entre os pontos são em relação a dois pontos, e os ângulos são sempre em relação a duas direções.
Assim, nas simetrias, há sempre uma distinção entre relativo e invariante, absoluto. Seria uma boa conclusão dizer que a simetria é sobre tudo o que não muda.
